Идея в целом хороша - таким образом, например, появились на свет "сюрреальные числа" (http://mathworld.wolfram.com/SurrealNumber.html).

Проблема в том, что с Гёделем не выйдет. На то она и теорема, чтобы гласить: не удастся построить такую систему (кроме тривиальной).