Загадка буддийского монаха

[catpad]

Нашёл интересную задачу. Она, наверное, известна всем, кроме меня. Но всё равно, для тех, кто не знает:

Утром, на рассвете, буддийский монах покидает свой монастырь у подножья горы и начинает подниматься в гору. На вершину ведёт узкая тропинка. Монах всё время поднимается с разной скоростью, так как устаёт, кроме того, часто останавливается, чтобы отдохнуть, сделать привал и поесть сушёных фруктов. Он достигает вершины при заходе солнца. После нескольких дней, проведённых в посте и молитвах, монах начинает спускаться с горы тоже на рассвете, идёт так же с остановками, и возвращается в монастырь прямо перед заходом солнца.
Докажите, что на тропинке обязательно существует такая точка, в которой монах находится при спуске и при подъёме точно в тот же самый момент времени между рассветом и закатом.

Кто знает ответ, не пишите. Интересно, трудна ли эта задача ? Я, к сожалению, увидел её прямо вместе с решением.

Comments

[g-beispiel.livejournal.com]

Мне показалось, что не очень. Рисуем две кривые, и видим, что они обязаны пересечься. По науке --- наверное, надо бы применить теорему о промежуточном значении. Пусть x(t) -- положение монаха при движении вверх, а y(t) --- при спуске. Пусть длина пути 1, а время будем измерять так, что закат -- это t=1, а восход t=0. Тогда x(0) = 0, x(1) = 1; y(0) = 1, y(1) = 0. Рассмотрим функцию z(t) = x(t) - y(t). Видно, что z(0) = 1, z(1) = -1. Если z(t) непрерывна (то есть монах не подпрыгивает), то в какой-то момент t^* имеем z(t^*) = 0, что и доказывает искомое утверждение.

[catpad.livejournal.com]

Это, конечно, правильное решение, но, на самом деле, задача рассчитана на людей, которые никакого представления не имеют ни о функциях, ни тем более о теореме о промежуточном значении. Вы будете смеяться, насколько это элементарно, Ватсон.

Может, кто-нибудь предложит совсем простое решение ?