Математическое

[catpad]

У меня такой вот математический вопрос.
Возьмём какое-нибудь иррациональное число, например "пи", и пусть это будет для простоты его бинарное представление (но это не должно быть число, в котором повторяется одна и та же последовательность - так что "пи" подходит).
Существует ли какая-то теорема или хотя бы гипотеза, которая утверждает, что в этом представлении обязательно можно найти любое сочетание 0 и 1 в виде подстроки любой длины ?
Или же более простой случай, где на длину подстроки наложено ограничение, то есть: в бинарном представлении "пи" обязательно найдётся любое сочетание 0 и 1 в виде подстроки, длина которой меньше или равна N.
Правда, тогда не совсем понятно, что это за N такое. N = 2, очевидно. N = 10, тоже почти очевидно, правда, непонятно, как доказать. N = 1000 уже не так очевидно. И так далее.

В общем, кто-нибудь знает такую теорему ? Меня этот вопрос очень сильно занимает.

Comments

[a-konst.livejournal.com]

можно поставить вопрос так: если взять случайное иррациональное число и зафиксировать, верно ли, что последовательность нулей и единиц в двоичной записи будет случайной?

гипотезы такие точно есть, а вот как насчет доказательств - я не в курсе.

[catpad.livejournal.com]

Допустим, что это верно. Тогда ответьте на такой вопрос: гарантирует ли факт случайности последовательности, что любое, сколь угодно длинное сочетание цифр можно будет там найти ?

Re: Reply to your comment...

[a-konst.livejournal.com]

Ну, я примерно это и подразумевал под "случайностью последовательности".
То есть - если взять и фиксировать N, и посмотреть на все куски длины N,
то они будут распределены равномерно.

Все это можно пытаться формулировать строго, способов несколько, они "разной силы",
не все гарантируют, что рано или поздно найдется любая заранее заданная последовательность.. Но это все пустой разговор без доказательств.