Математическое

[catpad]

У меня такой вот математический вопрос.
Возьмём какое-нибудь иррациональное число, например "пи", и пусть это будет для простоты его бинарное представление (но это не должно быть число, в котором повторяется одна и та же последовательность - так что "пи" подходит).
Существует ли какая-то теорема или хотя бы гипотеза, которая утверждает, что в этом представлении обязательно можно найти любое сочетание 0 и 1 в виде подстроки любой длины ?
Или же более простой случай, где на длину подстроки наложено ограничение, то есть: в бинарном представлении "пи" обязательно найдётся любое сочетание 0 и 1 в виде подстроки, длина которой меньше или равна N.
Правда, тогда не совсем понятно, что это за N такое. N = 2, очевидно. N = 10, тоже почти очевидно, правда, непонятно, как доказать. N = 1000 уже не так очевидно. И так далее.

В общем, кто-нибудь знает такую теорему ? Меня этот вопрос очень сильно занимает.

Comments

[scolar.livejournal.com]

Утверждение про произвольную подпоследовательность неверно: рассмотрим число, у которого после запятой ноль, единица, ноль, две единицы, ноль, три единицы, ноль, четыре единицы и т.д.
это число, очевидно, иррациональное, но в то же время там не встретишь двух нулей подряд.

[catpad.livejournal.com]

Нет, я понимаю, но что, если ограничиться числом "пи" ?

[a-konst.livejournal.com]

можно поставить вопрос так: если взять случайное иррациональное число и зафиксировать, верно ли, что последовательность нулей и единиц в двоичной записи будет случайной?

гипотезы такие точно есть, а вот как насчет доказательств - я не в курсе.

[catpad.livejournal.com]

Допустим, что это верно. Тогда ответьте на такой вопрос: гарантирует ли факт случайности последовательности, что любое, сколь угодно длинное сочетание цифр можно будет там найти ?

Re: Reply to your comment...

[a-konst.livejournal.com]

Ну, я примерно это и подразумевал под "случайностью последовательности".
То есть - если взять и фиксировать N, и посмотреть на все куски длины N,
то они будут распределены равномерно.

Все это можно пытаться формулировать строго, способов несколько, они "разной силы",
не все гарантируют, что рано или поздно найдется любая заранее заданная последовательность.. Но это все пустой разговор без доказательств.

[catpad.livejournal.com]

Да, спасибо, это именно то, что я хотел. Но, как там написано, доказательства не существует, а только "widely believed". И ещё мне не совсем понятно, что значит "equally likely".

[catpad.livejournal.com]

То есть, мы наверняка найдём данную подстроку длиной 10 в последовательности цифр числа "пи" длиной 10¹⁰ - это и есть определение "нормальности", я правильно понимаю ?

[catpad.livejournal.com]

Хм, на числе е я перестал понимать. Но это ладно.
Меня вот что интересует на самом деле. Если "нормальность" числа "пи", или "е", или корня из двух существует на самом деле, то это значит, что эти числа равнозначны тезису об обезьянах, стучащих по пишущей машинке. То есть, где-то в невообразимой дали числа "пи" лежит "Гамлет", а также все существующие и ещё неизвестные теоремы. Что, как мне кажется, является более сильным тезисом, чем "обезьяны" - потому что обезьяны только в теории могут всё это напечатать, а в обычной окружности и её диаметре всё это уже и так есть с начала времён. По-моему, тут глубокая философская разница...

[french-man.livejournal.com]

Разумеется, тут глубокая философская разница. Именно поэтому утверждение об обезьянах - простое упражнение по теории вероятности, а утверждение о пи - очень трудная открытая проблема:)

[catpad.livejournal.com]

Я вижу из вашего комментария внизу, что ни для одного числа нормальность не доказана. Действительно, жаль.
Хотя, если числа эти и в самом деле нормальны, то и само доказательство их нормальности должно быть записано где-то внутри самих этих чисел, и достаточно его там найти, чтобы эту самую нормальность доказать. И здесь, как мне кажется, должен действовать некий универсальный "принцип неопределённости": то есть, именно по этой причине такого доказательства там внутри нет, а следовательно нет и ни одного нормального числа :)

[french-man.livejournal.com]

ни для одного числа нормальность не доказана.

Нет, не совсем так. Нормальность не доказана ни для одного интересного числа (типа e, пи, корень из 2, и т.д.).

[catpad.livejournal.com]

Да, конечно, я имел в виду все "необезьяньи" числа.

[sowa.livejournal.com]

Насколько мне, примеры нормальных чисел есть, и, наверное, их много (примеров), но ни для какого числа, возникающего естественно, в частности, для "пи", нормальность не доказана, и непонятно, как к этому подступиться.

[french-man.livejournal.com]

Да, это так, разумеется. Почти все числа нормальны, но ни для одного «естественного числа» нормальность не доказана. Сенсацией стало недавнее доказательство гораздо более слабого утверждения о том, что в двоичной записи, скажем, корня из 2 встречается «много» блоков нулей и единиц длины n.